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Todos ganharam na divisão dos camelos

14 de junho de 2019

No livro “O Homem que Calculava”, Malba Tahan relata um episódio muito interessante, ocorrido com o jovem Beremiz, exímio matemático:

Beremiz e um amigo viajavam no dorso de um único camelo, de propriedade do amigo, quando avistaram três homens em calorosa discussão, próximos a um grupo de camelos. Beremiz procurou informar-se do que se passava.

“— Somos irmãos – esclareceu o mais velho – e recebemos como herança esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte, e, ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e, a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça e a nona parte de 35 também não são exatas?

— É muito simples – atalhou o Homem que Calculava. – Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que em boa hora aqui nos trouxe!

Com a aceitação da sua proposta pelos três irmãos, Beremiz juntou o seu camelo ao grupo, perfazendo então o total de 36 camelos, que foram assim divididos: metade, ou 18 camelos, para o irmão mais velho, a terça parte, ou 12 camelos, para Hamed e a nona parte, ou 4 camelos, para o irmão mais moço, Harim.

Os três irmãos ficaram satisfeitos com a partilha, pois cada um recebeu mais do que havia sido previsto na partilha da herança.

Como o primeiro recebeu 18, o segundo 12 e o terceiro 4 camelos, sobraram ainda dois camelos, pois 36 – (18 + 12 + 4) = 2, um dos quais foi devolvido ao seu dono e o outro foi entregue a Beremiz como pagamento pela solução do intrincado problema.

Ou seja, todos saíram ganhando. Qual é a explicação matemática para esse episódio?

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A explicação é bastante simples: o critério originalmente previsto para a distribuição dos camelos aos três irmãos, é falho. A soma das frações estabelecidas deveria ser igual a 1, e não é, pois 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18.

Dessa forma, a quantidade de camelos a ser repartida não seria 35, mas sim (17/18) x 35 = 33,0555… Quando Beremiz junta o outro camelo ao grupo, o número de camelos a repartir passa para (17/18) ⋅ 36 = 34, ainda menor que os 35 originais, possibilitando a sobra de um camelo. Se a soma das frações fosse igual a 1, essa “mágica” não seria possível.

 

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