Por que o resultado da multiplicação de dois números negativos é um número positivo?

07 de junho de 2019

Esta é uma pergunta que, embora seja relacionada às noções básicas da matemática, muitos alunos e até mesmo professores encontram dificuldade para responder.

Por definição, a multiplicação é uma operação de soma (ou adição) de parcelas iguais como, por exemplo:

4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12  

4 x (– 3) = (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) = – 12

(– 4) x (– 3) = ?  

Como repetir a parcela (– 3), um número negativo (– 4) de vezes?  Realmente, o entendimento não é intuitivo.

A explicação matemática do produto de dois números negativos pode ser facilmente entendida com o auxílio da propriedade distributiva da multiplicação:

Essa propriedade, amplamente demonstrada e aceita, estabelece que (a + b) . (c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d

Vamos então calcular o produto 3 x 2, que já sabemos ser igual a 6 (número positivo):

Como 3 = (7 – 4)  e  2 = (5 – 3), podemos escrever 3 x 2 = (7 – 4) x (5 – 3)

Observe então que a = 7,   b = – 4,   c = 5   e   d = – 3

Aplicando a propriedade distributiva do produto, temos:

(7 – 4) x (5 – 3) = 7 x 5 + 7 x (– 3) + (– 4) x 5 + (– 4) x (– 3)

= 35 – 21 – 20 + (– 4) x (– 3)

= – 6 + (– 4) x (– 3)

Como o resultado é igual a 6    →    – 6 + (– 4) x (– 3) = 6    →    (– 4) x (– 3) = 6 + 6 = 12    (+ 12) 

Portanto, o produto (– 4) x (– 3) é igual a 12, número positivo. Aplicando esse mesmo raciocínio para qualquer outro par de fatores negativos, verificamos que sempre o produto de dois números negativos terá como resultado um número positivo.

Como exercício para fixação do entendimento, prove que o produto (– 1) x (– 1) é igual a + 1.